Question

已知函數f（x）=4x+1，g（x）=2x，x∈R，數列{a_n}，{b_n}，{c_n}滿足條件：a₁=1，a_n=f（b_n）=g（b_n+1）（n∈N^*），．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{c_n}的前n項和T_n，并求使得對任意n∈N^*都成立的最大正整數m；
（Ⅲ）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意a_n+1=4b_n+1+1，a_n=2b_n+1，由此可知數列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數列．從而得到a_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）由題設條件知，由此可知T_n＜T_n+1，n∈N^*．當n=1時，T_n取得最小值．由題意得，從而得到m=9．
（Ⅲ）證明：由題知．由此可知（n∈N^*）．
解答：解：（Ⅰ）由題意a_n+1=4b_n+1+1，a_n=2b_n+1，
∴a_n+1=2a_n+1，（2分）
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁=1，
∴數列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數列．（4分）
∴．a_n+1=2×2^n-1
∴a_n=2ⁿ-1．（5分）
（Ⅱ）∵，（7分）
∴=．（8分）
∵，
∴T_n＜T_n+1，n∈N^*．
∴當n=1時，T_n取得最小值．（10分）
由題意得，得m＜10．
∵m∈Z，
∴由題意得m=9．（11分）
（Ⅲ）證明：
∵，
k=1，2，3，，n（12分）
∴．
∴（n∈N^*）．（14分）
點評：本題考查數列的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答．