Question

已知雙曲線的方程為x²-

y2

4

=1，如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-

5

，0），B是圓x²+（y-

5

）²=1上的點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線的右支上，求|MA|+|MB|的最小值．

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

5

，0），則點(diǎn)A，D是雙曲線的焦點(diǎn)，利用雙曲線的定義，可得|MA|-|MD|=2a=2．于是|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，再利用|BD|≥|CD|-r即可．

解答：解：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

5

，0），則點(diǎn)A，D是雙曲線的焦點(diǎn)，
由雙曲線的定義，得|MA|-|MD|=2a=2．
∴|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，
又B是圓x²+（y-

5

）²=1上的點(diǎn)，圓的圓心為C（0，

5

），
半徑為1，故|BD|≥|CD|-1=

10

-1，從而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥

10

+1，
當(dāng)點(diǎn)M，B在線段CD上時(shí)取等號，即|MA|+|MB|的最小值為

10

+1．

點(diǎn)評：熟練掌握雙曲線的性質(zhì)及其圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最小值是解題的關(guān)鍵．