Question

（1）證明|sin2x|≤2|sinx|；（x為任意值）
（2）已知n為任意正整數，用數學歸納法證明|sinnx|≤n|sinx|．（x為任意值）

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用三角函數的二倍角公式，再結合三角函數的有界性即可證明；
（2）用數學歸納法證明三角問題時分為兩個步驟，第一步，先證明當當n=1時，結論顯然成立，第二步，先假設假設當n=k時結論成立，利用此假設結合三角函數的和角公式以及三角函數值的有界性，證明當n=k+1時，結論也成立即可．
解答：證：（1）|sin2x|=|2sinx•cosx|=2|sinx|•|cosx|．
∵|cosx|≤1，
∴|sin2x|≤2|sinx|；
（2）當n=1時，結論顯然成立．
假設當n=k時結論成立，
即|sinkx|≤k|sinx|．
當n=k+1時，
|sin（k+1）x|
=|sinkx•cosx+coskx•sinx|≤|sinkx•cosx|+|coskx•sinx|
=|sinkx|•|cosx|+|coskx|•|sinx|≤k|sinx|+|sinx|
=（k+1）|sinx|．
故當n為任意正整數時，結論均成立．
點評：本題主要考查數學歸納法，數學歸納法的基本形式
設P（n）是關于自然數n的命題，若1°P（n）成立（奠基）
2°假設P（k）成立（k≥n），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對一切大于等于n的自然數n都成立