Question

如圖，PA⊥平面ABCD，ABCD為正方形，∠PAD=90°，且PA=AD，E、F分別是線段PA、CD的中點(diǎn)．
（1）求EF和平面ABCD所成的角α；
（2）求異面直線EF與BD所成的角β．

Answer 1

分析：（1）由已知可得EA⊥平面ABCD，連結(jié)AF，則∠EFA=α，設(shè)出PA=AD=2，通過(guò)解三角形求出α的正切值，則角α可求；
（2）在平面ABCD中，過(guò)F作FG∥BD，得到∠EFG為異面直線EF與BD所成的角β，解直角三角形求出邊長(zhǎng)后再利用余弦定理求角β的余弦值，則角β可求．

解答：解：（1）如圖，
∵PA⊥平面ABCD，E∈PA，∴EA⊥平面ABCD．
∴EF和平面ABCD所成的角α即為∠EFA．
設(shè)PA=AD=2，∵E、F分別是線段PA、CD的中點(diǎn)，
則EA=DF=1，在Rt△ADF中，AF=

AD2+DF2

=

22+12

=

5

．
在Rt△EAF中，tanα=tan∠EFA=

EA

AF

=

1

5

=

5

5

．
所以α=arctan

5

5

；
（2）在平面ABCD中，過(guò)F作FG∥BD，∴G為BC中點(diǎn)．
異面直線EF與BD所成的角β即為∠EFG．
連結(jié)EG，
在Rt△ABG中，AG=

AB2+BG2

=

22+12

=

5

．
在Rt△EAG中，EG=

EA2+AG2

=

12+( 5 )2

=

6

．
同理求得EF=

6

．
在Rt△GCF中，GF=

12+12

=

2

．
則在△EFG中，cosβ=cos∠EFG=

EF2+FG2-EG2

2•EF•FG

=

( 6 )2+( 2 )2-( 6 )2

2× 6 × 2

=

3

6

．
所以β=arccos

3

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線和平面所成的角，考查了異面直線所成的角，考查了學(xué)生的空間想象和思維能力，解答的關(guān)鍵是角的找取，訓(xùn)練了利用反三角函數(shù)表示角，是中檔題．