Question

9．設x軸、y軸正方向上的單位向量分別是$\overrightarrow{i}$、$\overrightarrow{j}$，坐標平面上點列A_n、B_n（n∈N^*）分別滿足下列兩個條件：①$\overrightarrow{OA_1}$=$\overrightarrow{j}$且$\overrightarrow{A_nA_{n+1}}$=$\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{j}$；②$\overrightarrow{OB_1}$=4$\overrightarrow{i}$且$\overrightarrow{B_nB_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$×4$\overrightarrow{i}$；
（1）寫出$\overrightarrow{OA_2}$及$\overrightarrow{OA_3}$的坐標，并求出$\overrightarrow{OA_n}$的坐標；
（2）若△OA_nB_n+1的面積是a_n，求a_n（n∈N^*）的表達式；
（3）對于（2）中的a_n，是否存在最大的自然數M，對一切n∈N^*都有a_n≥M成立？若存在，求出M，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用向量的加法運算寫出$\overrightarrow{OA_2}$及$\overrightarrow{OA_3}$的坐標，并求出$\overrightarrow{OA_n}$的坐標；
（2）A_n（n-1，n），它滿足直線方程y=x+1，因此點A_n在直線y=x+1上．$\overrightarrow{O{B}_{n+1}}$=（1+1-$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）×4$\overrightarrow{i}$=$\frac{2n+1}{n+1}$×$4\overrightarrow{i}$，即可求a_n（n∈N^*）的表達式；
（3）設t=n+1，（t≥2，t∈N₊）則a_n=4t+$\frac{2}{t}$-6，a_n=4t+$\frac{2}{t}$-6≥3，即可得出結論．

解答 解：（1）$\overrightarrow{OA_2}$=$\overrightarrow{OA_1}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$=$\overrightarrow{j}$+$\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{j}$=$\overrightarrow{i}$+2$\overrightarrow{j}$=（1，2），$\overrightarrow{OA_3}$=2$\overrightarrow{i}$+3$\overrightarrow{j}$=（2，3）
$\overrightarrow{OA_n}$=（n-1）$\overrightarrow{i}$+n$\overrightarrow{j}$=（n-1，n）；
（2）A_n（n-1，n），它滿足直線方程y=x+1，因此點A_n在直線y=x+1上．
$\overrightarrow{O{B}_{n+1}}$=（1+1-$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）×4$\overrightarrow{i}$=$\frac{2n+1}{n+1}$×$4\overrightarrow{i}$，
∴△OA_nB_n+1的面積a_n=$\frac{1}{2}•n•$$\frac{8n+4}{n+1}$=$\frac{4{n}^{2}+2n}{n+1}$；
（3）設t=n+1，（t≥2，t∈N₊）則a_n=4t+$\frac{2}{t}$-6，
y=4t+$\frac{2}{t}$，則y′=4-$\frac{2}{{t}^{2}}$＞0在[2，+∞）上恒成立，
∴a_n=4t+$\frac{2}{t}$-6≥3，
∵對一切n∈N^*都有a_n≥M成立，
∴M≤3，
∴M的最大值為3．

點評 本題考查了平面向量與數列的綜合，是一道難題．對于裂項求和公式的掌握，數列單調性的充公理解，是解決本題的關鍵．