Question

已知sinθ+cosθ=

1+ 3

2

，θ∈(0，

π

4

)
（1）求θ的值；
（2）求函數(shù)f（x）=sin（x-θ）+cosx在x∈[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)sinθ+cosθ=

1+ 3

2

，求出sin2θ，結(jié)合θ的范圍求出θ的值．
（2）通過(guò)兩角差的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，利用兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：（1）由sinθ+cosθ=

1+ 3

2

，
兩邊平方得：1+sin2θ=

4+2 3

4

，解得sin2θ=

3

2

又θ∈(0，

π

4

)，所以2θ∈(0，

π

2

)，此時(shí)2θ=

π

3

，θ=

π

6

（2）f(x)=sin(x-θ)+cosx=sin(x-

π

6

)+cosx=

3

2

sinx-

1

2

cosx+cosx=sin(x+

π

6

)
由-

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得-

2π

3

+2kπ≤x≤

π

3

+2kπ
而x∈[0，π]，所以x∈[0，

π

3

]，
故所求的單調(diào)增區(qū)間為[0，

π

3

]

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法，考查計(jì)算能力．