Question

設F₁、F₂分別是雙曲線-=1(a＞0,b＞0)的左、右焦點,點P在雙曲線的左支上,點M在雙曲線的右準線上,O為坐標原點.

(1)若|OM|=|F₂M|,

①求雙曲線的漸近線方程;

②證明此雙曲線上任意一點到其兩條漸近線的距離之積為.

(2)若四邊形OMPF₁是菱形,Q為雙曲線右支上一點,且△F₁F₂Q的面積為,求|OQ|的最小值.

Answer 1

(1)①解：因為|OM|=|F₂M|,

所以c=2,即c²=2a².

又c²=a²+b²,

所以a=b,雙曲線的漸近線方程為y=±x.

②證明：此時雙曲線方程為x²-y²=a²,設Q(x₁,y₁)為雙曲線上任意一點,則x₁²-y₁²=a²,則它到兩條漸近線的距離分別為d₁=,d₂=.

所以d₁d₂==.

(2)解：因為四邊形OMPF₁是菱形,

所以|PF₁|=|PM|=|OF₁|=c.

所以P到左準線的距離d=c-2.

所以=e,即de=(c-2)e=c.

整理得e²-e-2=0.

解之,得e=2.

此時b²=3a²,雙曲線方程為-=1.

設Q(x₀,y₀)(x₀＞0),則-=1.                                        ①

因為△F₁F₂Q的面積為,所以c·|y₀|=,y₀²==.     ②

將②代入①,得x₀²=a²+.

所以|OQ|²=a²+.

所以|OQ|²≥2,此時a=1,即|OQ|的最小值為.