Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，且PA=AD，E、F分別為線段AB、PD的中點.

求證：（1）AF∥平面PEC；

（2）AF⊥平面PCD.

Answer 1

解：以A為原點，向量，，的方向分別為x軸，y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，

設AB=a,PA=AD=1,

則P(0,0,1),C(a,1,0)，E（,0,0）,D(0,1,0),F(0,,).

(1)證明：=（0，，），

=（,0,1）,

=(,1,0),

∴=+,

又AF平面PEC，∴AF∥平面PEC.

(2)=(0,1,-1)，=（-a,0,0）,

·=（0，，）·（0，1，-1）=0.

·=（0，，）·（-a，0，0）=0，

∴AF⊥PD，AF⊥CD，又PD∩CD=D，

∴AF⊥平面PCD.