Question

已知圓C的圓心在直線y=x+1上，且過點A（1，3），與直線x+2y-7=0相切。
（1）求圓C的方程；
（2）設直線：與圓C相交于A、B兩點，求實數a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在實數a，使得弦AB的垂直平分線過點P（-2，4）， 若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）圓C的方程為；
（2）把直線即代入圓的方程，
消去y整理，得，
由于直線交圓于A，B兩點，
故，即，
由于，解得，
所以實數a的取值范圍是。
（3）設符合條件的實數a存在，由于，則直線的斜率為，
的方程為， 即，
由于垂直平分弦AB，故圓心M（0，1）必在上，
所以，解得，
由于，
故不存在實數a，使得過點P（-2，4）的直線垂直平分弦AB。