Question

設b＞0，橢圓方程為，拋物線方程為x²=8（y-b），如圖所示，過點F(0，b+2)作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G，已知拋物線在點G的切線經過橢圓的右焦點F₁，
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設A，B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點P，使得△ABP為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．

Answer 1

解：（1）由得，
當y=b+2得x=±4，
∴G點的坐標為(4，b+2)，，
過點G的切線方程為y-（b+2）=x-4即y=x+b-2，
令y=0得x=2-b，
∴F₁點的坐標為（2-b，0），
由橢圓方程得F₁點的坐標為（b，0），
∴2-b=b即b=1，
即橢圓和拋物線的方程分別為和；
（2）∵過A作x軸的垂線與拋物線只有一個交點P，
∴以∠PAB為直角的Rt△ABP只有一個，
同理∴以∠PAB為直角的Rt△ABP只有一個。
若以∠PAB為直角，設P點坐標為，A、B兩點的坐標分別為和，
，
關于x²的二次方程有一大于零的解，
∴x有兩解，即以∠PAB為直角的Rt△ABP有兩個，
因此拋物線上存在四個點使得△ABP為直角三角形。