Question

已知數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1-a_n=n+1（n∈N^*）且bn=2an-n2-10，數列{b_n}的前n項和為S_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）當n≥8時，求數列{|b_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1-a_n=n+1，利用“累加求和”即可得出；
（2）利用（1）可得b_n=n-8，當n≥8時，b_n≥0．利用等差數列的前n項和公式可得S_n．當n≥8時，T_n=-（b₁+b₂+…+b₇）+（b₈+b₉+…+b_n）=-S₇+S_n-S₇=S_n-2S₇即可得出．

解答：解：（1）a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，n≥2．
∴an=n+(n-1)+(n-2)+…+2+2=

n(n+1)

2

+1，
∴an=

n2+n+2

2

，   n≥2．
當n=1時，a1=2=

12+1+2

2

，滿足上式，
∴an=

n2+n+2

2

，   n∈N*．
（2）∵bn=2an-n2-10=2×

n2+n+2

2

-n2-10=n-8，
∴當n≥8時，b_n≥0．
∴Sn=

n(-7+n-8)

2

=

n2-15n

2

．
∴當n≥8時，T_n=-（b₁+b₂+…+b₇）+（b₈+b₉+…+b_n）
=-S₇+S_n-S₇
=S_n-2S₇
=

n(-7+n-8)

2

-2×

7(-7+7-8)

2

=

n2-15n+112

2

．

點評：本題考查了“累加求和”、等差數列的前n項和公式、含絕對值符號的數列求和問題等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．