Question

設等比數列{a_n}的公比為q，前n項和S_n＞0（n=1，2，…）．
（Ⅰ）求q的取值范圍；
（Ⅱ）設，記{b_n}的前n項和為T_n，試比較S_n與T_n的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設等比數列通式a_n=a₁q^（n-1），根據S₁＞0可知a₁大于零，當q不等于1時，根據s_n=＞0，進而可推知1-qⁿ＞0且1-q＞0，或1-qⁿ＜0且1-q＜0，進而求得q的范圍，當q=1時仍滿足條件，進而得到答案．
（Ⅱ）把a_n的通項公式代入，可得a_n和b_n的關系，進而可知T_n和S_n的關系，再根據（1）中q的范圍來判斷S_n與T_n的大小．
解答：解：（Ⅰ）設等比數列通式a_n=a₁q^（n-1）
根據S_n＞0，顯然a₁＞0，
當q不等于1時，前n項和s_n=
所以＞0 所以-1＜q＜0或0＜q＜1或q＞1
當q=1時 仍滿足條件
綜上q＞0或-1＜q＜0
（Ⅱ）∵
∴b_n=
=a_nq²-a_nq
=a_n（2q²-3q）
∴T_n=（2q²-3q）S_n
∴T_n-S_n=S_n（2q²-3q-2）=S_n（q-2）（2q+1）
又因為S_n＞0，且-1＜q＜0或q＞0，
所以，當-1＜q＜-或q＞2時，T_n-S_n＞0，即T_n＞S_n；
當-＜q＜2且q≠0時，T_n-S_n＜0，即T_n＜S_n；
當q=-，或q=2時，T_n-S_n=0，即T_n=S_n．
點評：本題主要考查了等比數列的性質．在解決數列比較大小的問題上，常利用到不等式的性質來解決．