Question

已知c＞0且c≠1，設p：指數函數y=（2c-1）^x在R上為減函數，q：不等式x+（x-2c）²＞1的解集為R．若p∧q為假，p∨q為真，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：分別求出當p，q為真命題時的c的取值范圍，然后由題意可得p和q有且只有一個正確，然后分兩類由交集的運算可得答案．

解答：解：當p正確時，
∵函數y=（2c-1）^x在R上為減函數，∴0＜2c-1＜1
∴當p為正確時，

1

2

＜c＜1；
當q正確時，
∵不等式x+（x-2c）²＞1的解集為R，
∴當x∈R時，x²-（4c-1）x+（4c²-1）＞0恒成立．
∴△=（4c-1）²-4•（4c²-1）＜0，∴-8c+5＜0
∴當q為正確時，c＞

5

8

．
由題設，p和q有且只有一個正確，則
（1）p正確q不正確，∴

1 2 ＜c＜1 0＜c≤ 5 8

∴

1

2

＜c≤

5

8

（2）q正確p不正確∴

0＜c≤ 1 2   ，  c＞1 c＞ 5 8

∴c＞1
∴綜上所述，c的取值范圍是（

1

2

，

5

8

]∪（1，+∞）

點評：本題為變量取值范圍的求解，涉及函數的單調性和一元二次不等式的解法，屬基礎題．