Question

設．
（I）求f（x）的單調區間與極值；
（II）求方程f（x）=0的實數解的個數．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用函數的求導公式求出函數的導數，根據導數求函數的單調性和極值．
（II）由于，所以，．再進行分類討論．
解答：解：（I）f'（x）=2x²-2，由f'（x）=2x²-2=0得 x=-1或x=1．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+		--		+
f（x）	單增	極大值	單減	極小值	單增

所以，f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1）和（1，+∞），單調遞減區間為（-1，1）；
極大值為，極小值為．
（II）由于，所以，．
①當時，f（-1）=0，即x=-1是方程f（x）=0的一個解．
又因為，
所以，方程f（x）=0在（1，3）內至少有一個解．根據函數f（x）單調性可知，方程f（x）=0有兩個不同的解．
②當時，，即x=1是方程f（x）=0的一個解．
又因為，
所以方程f（x）=0在（-3，-1）內至少有一個解．根據函數f（x）單調性可知，方程f（x）=0有兩個不同的解．
③當時，，，所以方程f（x）=0在（-1，1）內至少有一個解．又由f（-3）=m-12＜0，知方程f（x）=0在（-3，-1）內至少有一個解；由f（3）=12+m＞0，知方程f（x）=0在（1，3）內至少有一個解．根據函數f（x）單調性可知，方程f（x）=0有三個不同的解．
點評：通過本題考查學生幾個方面的能力：（1）能否將“求方程f（x）=0的實數解的個數”問題轉化為函數f（x）的零點問題；（2）對于函數問題，是否能夠主動運用導數這一工具來研究函數整體的狀態、性質．