Question

已知圓C1：x2+y2-2x-4y+4=0與直線l：x+2y-4=0相交于A，B兩點．
（Ⅰ）求弦AB的長；
（Ⅱ）若圓C₂經過E（1，-3），F（0，4），且圓C₂與圓C₁的公共弦平行于直線2x+y+1=0，求圓C₂的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出圓心到直線l的距離，再利用勾股定理即可求出弦AB的長；
（II）設圓C₂的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，與圓C1：x2+y2-2x-4y+4=0方程相減，可得公共弦所在的直線方程為：（D+2）x+（E+2）y+F=0，利用圓C₂與圓C₁的公共弦平行于直線2x+y+1=0，可得D=2E+6，再根據圓C₂經過E（1，-3），F（0，4），可構建方程組，從而可求圓C₂的方程．

解答：解：（Ⅰ）圓心到直線l的距離 d=

5

5

，（2分）
所以|AB|=2

1- 1 5

=

4 5

5

．                    　（4分）
（II）設圓C₂的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵圓C1：x2+y2-2x-4y+4=0
∴兩方程相減，可得公共弦所在的直線方程為：（D+2）x+（E+4）y+F-4=0，
∵圓C₂與圓C₁的公共弦平行于直線2x+y+1=0，
∴

D+2

2

=

E+4

1

，即D=2E+6．                        （6分）
又因為圓C₂經過E（1，-3），F（0，4），
所以

1+9+D-3E+F=0 16+4E+F=0 D=2E+6

⇒

D=6 E=0 F=-16.

所以圓C₂的方程為x²+y²+6x-16=0．（8分）

點評：本題考查圓中的弦長問題，考查兩圓的公共弦，考查圓的方程，解題的關鍵是利用圓的特征，確定公共弦的方程．