Question

已知在與處都取得極值.
（1）求，的值；
（2）設函數，若對任意的，總存在，使得、，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）根據條件，可得，由在與處都取得極值，可知，故可建立關于的二元一次方程組，從而解得，此時，需要代回檢驗是否確實是的極值點，經檢驗符合題意，從而；（2）由（1）可得由（1）知：函數在上遞減，
∴ ，因此問題就等價于求使當時，恒成立的的取值范圍，而二次函數圖像的對稱軸是，因此需對的取值作出以下三種情況的分類討論：①：；②：；③，分別用含的代數式表示上述三種情況下的最小值表示出來，從而可以建立關于的不等式，進而求得的取值范圍為.
試題解析：（1）∵，∴.         1分
∵在與處都取得極值，
∴，∴          4分
經檢驗，當時，，
∴函數在與處都取得極值，∴         6分；
（2）由（1）知：函數在上遞減，
∴            8分，
又 ∵函數圖象的對稱軸是，
①：當時：，顯然有成立， ∴ .
②：當時：，∴， 解得：，
又∵ ，∴.
③：當時：，∴ ， ∴， 又，∴
綜上所述：           12分，
∴實數的取值范圍為         13分.
考點：1.導數的運用；2.二次函數與恒成立問題.