Question

我們知道，圓是平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡，因此可以判斷一點與一個圓的位置關系——當該點到圓心的距離等于半徑時，該點在該圓上；當該點到圓心的距離小于半徑時，該點在該圓內；當該點到圓心的距離大于半徑時，該點在該圓上外．你能根據橢圓的定義來判斷一個點相對于一個橢圓的位置關系嗎？如果能，應該如何判斷？

Answer 1

答案：
解析：

分析：根據橢圓的定義，平面內到兩個定點F1、F2的距離的和等于常數2a(大于F1F2)的點的軌跡叫做橢圓，類比一個點與圓的位置關系的判斷可知． 　　解：當一個點到一個橢圓的兩個焦點的距離的和等于2a時，該點位于這個橢圓上；當一個點到一個橢圓的兩個焦點的距離的和小于2a時，該點位于這個橢圓內；當一個點到一個橢圓的兩個焦點的距離的和大于2a時，該點位于這個橢圓外． 　　同樣，直線與圓的位置關系的判斷方法是：直線與圓方程聯立，得到關于x(或y)的一元二次方程，當這個一元二次方程的Δ＜0，相離；Δ＝0，相切；Δ＞0，相交．還可以依據圓心到直線的距離d與其半徑r間的大小關系來判斷直線與圓的位置關系：當d＝r時，直線與圓相切；當d＞r時，直線與圓相離；當d＜r時，直線與圓相交．你能由此進一步得到判斷直線與橢圓的位置關系的方法嗎？ 當焦點F1、F2在直線l的異側時，PF1＋PF2≥MF1＋MF2(其中點P是直線l上任意一點，M是直線l與直線F1F2的交點)，即直線l上任意點到兩焦點F1、F2的距離和最小是MF1＋MF2＝F1F2(其中點F1是點F1關于直線l的對稱點)，若1F2＞2a，則相應直線l與橢圓相離；若1F2＝2a，則相應直線l與橢圓相切；若1F2＜2a，則相應直線l與橢圓相交． 　　同理，當焦點F1、F2在直線l的同側時， 　　1F2＜M＋F2M＝F1M＋F2M＝F1F2＝2c＜2a， 　　綜上所述，設橢圓C：＝1(a＞b＞0)的焦點F1、F2，直線l：Ax＋By＋C＝0，點F1是點F1關于直線l的對稱點，則有1F2＞2a直線l與橢圓C相離；1F2＝2a直線l與橢圓C相切；1F2＜2a直線l與橢圓C相交．