Question

△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知A=

π

3

，a=

3

．
（1）若△ABC的面積為

3

2

，求△ABC的周長；
（2）設B=x，△ABC的周長為y，求y=f（x）的表達式和最大值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把sinA和已知的面積值代入求出bc的值，記作①，再由余弦定理得到a²=b²+c²-2bc•cosA，將a，cosA及bc的值代入求出b²+c²的值，記作②，聯立①②求出b與c的值，進而得出三角形的周長；
（2）由A的度數，及B=x，利用三角形的內角和定理表示出C的度數，由a與sinA的值，利用正弦定理分別表示b與c，進而表示出三角形的周長，得到關于y的關系式，把關系式利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，整理后前兩項提取2

3

，再利用特殊角的三角函數值及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由x的范圍，得到這個角的范圍，根據正弦函數的圖象與性質即可得到正弦函數的最大值，進而得到y的最大值．

解答：解：（1）∵A=

π

3

，a=

3

，且△ABC的面積為

3

2

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc=

3

2

，
∴bc=2①，
由余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA得：3=b²+c²-bc=b²+c²-2，
∴b²+c²=5②，
聯立①②，解得a=1，b=2或a=2，b=1，
則△ABC的周長為a+b+c=

3

+2+1=3+

3

；
（2）∵A=

π

3

，B=x，
∴C=π-A-B=

2π

3

-x，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得：
b=

asinB

sinA

=

3 sinx

3 2

=2sinx，c=

asinC

sinA

=

3 sin( 2π 3 -x)

3 2

=2sin（

2π

3

-x），
∴周長y=a+b+c=

3

+2sinx+2sin（

2π

3

-x）
=

3

+2sinx+2sin

2π

3

cosx-2cos

2π

3

sinx
=3sinx+

3

cosx+

3

=2

3

（

3

2

sinx+

1

2

cosx）+

3

=2

3

sin（x+

π

6

）+

3

，
∵0＜x＜π，∴

π

6

＜x+

π

6

＜

7π

6

，
則當x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時，y_max=3

3

．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：三角形的面積公式，正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，特殊角的三角函數值，以及正弦函數的定義域和值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．