Question

如圖，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，PA⊥平面ABC．
（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若D也是圓周上一點，且與C分居直徑AB的兩側，試寫出圖中所有互相垂直的各對平面．

Answer 1

解：
（1）證明：∵C是AB為直徑的圓O的圓周上一點，
∴BC⊥AC．
又PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥PA，從而BC⊥平面PAC．
∵BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC．
（2）解：平面PAC⊥平面ABCD；
平面PAC⊥平面PBC；
平面PAD⊥平面PBD；
平面PAB⊥平面ABCD；
平面PAD⊥平面ABCD．
分析：對于（1），要證明平面PAC⊥平面PBC，只需證明平面PBC內的一條直線與平面PAC垂直即可，而根據條件，可以得到BC⊥PA，BC⊥AC，從而得到BC⊥平面PAC，由面面垂直的判定可得證；
對于（2），在（1）的條件下，可以找到幾對相互垂直的平面，由于D也是圓周上一點，且與C分居直徑AB的兩側，同理可以證明面面垂直，從而找到所有相互垂直的平面共5對．
點評：本題考查面面垂直的判定，要注意轉化為線面垂直來進行證明，體會立體幾何中降維思考．