Question

20．△ABC中，C為鈍角，設M=sin（A+B），N=sinA+sinB，P=cosA+cosB，則有（　　）

• A． M＜N＜P
• B． N＜M＜P
• C． M＜P＜N
• D． P＜M＜N

Answer 1

分析 利用兩角和與差的正弦與正弦函數的性質易知M最小，再對N與P作差，利用輔助角公式及正弦函數的單調性即可得到答案．

解答 解：∵M=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA＜sinA+sinB=N，
同理，M＜P，即M最小；
又N-P=sinA+sinB-（cosA+cosB）
=（sinA-cosA）+（sinB-cosB）
=$\sqrt{2}$sin（A-$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$sin（B-$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{2}$sin（B-$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$-A）；
設A＜$\frac{π}{4}$，由C為鈍角，知A+B＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{4}$＞$\frac{π}{4}$-A＞B-$\frac{π}{4}$＞-$\frac{π}{4}$，
∴sin（$\frac{π}{4}$-A）＞sin（B-$\frac{π}{4}$），
∴N-P＜0，即N＜P；
∴M，N，P的大小關系為M＜N＜P．
故選：A

點評 本題考查兩角和與差的正弦與正弦函數的性質，作差判斷N與P的大小是難點，也是關鍵，考查運算求解能力，屬于中檔題．