已知點
是橢圓
：
上一點，
分別為的左右焦點
，
，
的面積為
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設
，過點
作直線
，交橢圓異于
的
兩點，直線
的斜率分別為
，證明：
為定值.
（Ⅰ）
；（Ⅱ）詳見解析.
解析試題分析：本題考查橢圓的定義、余弦定理及韋達定理的應用.第一問是利用三角形面積公式、余弦定理、橢圓的定義，三個方程聯立，解出
，再根據
的關系求
，本問分析已知條件是解題的關鍵；第二問是直線與橢圓相交于兩點，先設出兩點坐標，本題的突破口是在消參后的方程中找出兩根之和、兩根之積，整理斜率的表達式，但是在本問中需考慮直線的斜率是否存在，此題中蘊含了分類討論的思想的應用.
試題解析：（Ⅰ）在中，
由
，得
．
由余弦定理，得
，
從而
，即
，從而
，
故橢圓的方程為． 6分
（Ⅱ）當直線的斜率存在時，設其方程為
，
由
，得
． 8分
設
，
，
，
．
從而
． 11分
當直線的斜率不存在時，得
，得
．
綜上，恒有． 12分
考點：1.橢圓的定義；2.韋達定理；3.直線的斜率.
出彩同步大試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
與雙曲線
有公共焦點
，點
是曲線
在第一象限的交點，且
．
(Ⅰ)求雙曲線
的方程；
(Ⅱ)以雙曲線的另一焦點
為圓心的圓
與直線
相切，圓
：
．過點
作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線
和
，設被圓截得的弦長為
，被圓截得的弦長為
，問：
是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓：
，離心率為
，焦點
過
的直線交橢圓于
兩點，且
的周長為4.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ) 直線
與y軸交于點P(0,m)(m
0),與橢圓C交于相異兩點A,B且
.若
,求m的取值范圍。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設橢圓
的左焦點為
，離心率為
，過點且與
軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為
.
(1) 求橢圓方程.
(2) 過點
的直線
與橢圓交于不同的兩點
，當
面積最大時，求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在平面直角坐標系
中，
、
分別是橢圓
的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于
、
兩點，其中在第一象限．過作
軸的垂線，垂足為
．連接
，并延長交橢圓于點
．設直線
的斜率為
．
（Ⅰ）當直線平分線段
時，求的值；
（Ⅱ）當
時，求點到直線
的距離；
（Ⅲ）對任意
，求證：
．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
＋
＝1（a＞b＞0）的離心率為
，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為
．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在點P，使得當l繞F轉到某一位置時，有
＝
＋
成立？若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C: 
(a>b>0)的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓
上.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若斜率為k的直線過點M(2,0),且與橢圓C相交于A, B兩點.試探討k為何值時,三角形OAB為直角三角形.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
四邊形ABCD的四個頂點都在拋物線
上，A，C關于
軸對稱，BD平行于拋物線在點C處的切線。
（Ⅰ）證明：AC平分
；
（Ⅱ）若點A坐標為
，四邊形ABCD的面積為4，求直線BD的方程。
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．
在
處取得極值，求
的值；
且
，函數
，若對于
，總存在
使得
，求實數
的取值范圍．