Question

已知橢圓C的焦點為F1(-2

2

，0)，F2(2

2

，0)，且過點A（3，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=x+2交橢圓C于M，N兩點，求線段MN的中點P坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓的方程，將A的坐標(biāo)代入橢圓的方程得到關(guān)于a，b的等式，再根據(jù)橢圓的三個參數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于a，b，c的另一個等式，解方程組求出a，b的值即得到橢圓的方程；
（Ⅱ）將直線與橢圓聯(lián)立，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理，設(shè)而不求的技巧，可求得線段AB的中點坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知，c=2

2

，a²=b²+8
設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
即

x2

b2+8

+

y2

b2

=1，
∵點A（3，0）在橢圓上，
∴

32

b2+8

+

02

b2

=1，解得b²=1，
∴橢圓方程為：

x2

9

+y2=1；
（Ⅱ）聯(lián)立方程組

x2 9 +y2=1 y=x+2

，消去y得10x²+36x+27=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀），則x₁+x₂=-

18

5

，
∴x₀=

x1+x2

2

=-

9

5

，y₀=x₀+2=

1

5

，
∴線段MN的中點P坐標(biāo)為（-

9

5

，

1

5

）．

點評：本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，簡單運(yùn)用韋達(dá)定理，設(shè)而不求解決問題，同時考查了運(yùn)算求解的能力，屬中檔題．