Question

已知y=f（x）為R上的連續可導的函數，當x≠0時，f′(x)+

f(x)

x

＞0，則關于x的方程f(x)+

1

x

=0的根的個數為（　�。�

A．0

B．1

C．2

D．0或2

Answer 1

分析：欲求關于x的方程f(x)+

1

x

=0的根的個數可轉化成xf（x）+1=0的根的個數，令F（x）=xf（x）+1，根據條件討論x的正負，得到函數的單調性，從而得到結論．

解答：解：∵當x≠0時，f′(x)+

f(x)

x

＞0，
∴

xf′(x)+f(x)

x

＞0
要求關于x的方程f(x)+

1

x

=0的根的個數可轉化成xf（x）+1=0的根的個數
令F（x）=xf（x）+1
當x＞0時，xf′（x）+f（x）＞0即F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上單調遞增
當x＜0時，xf′（x）+f（x）＜0即F′（x）＜0，∴F（x）在（-∞，0）上單調遞減
而y=f（x）為R上的連續可導的函數
∴xf（x）+1=0無實數根
故選A．

點評：本題主要考查了根的存在性及根的個數判斷，以及導數運算和分離討論的思想，屬于中檔題．