Question

15．如圖，正四棱錐P-ABCD各棱長都為2，點O，M，N，Q分別是AC，PA，PC，PB的中點．
（I）求證：PD∥平面QAC；
（Ⅱ）求三棱錐P-MND的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結BD，交AC于O，連結QO，則QO∥PD，由此能證明PD∥平面QAC．
（Ⅱ）∴三棱錐P-MND的體積V_P-MND=V_D-PMN=$\frac{1}{4}{V}_{D-PAC}$，由此能求出結果．

解答 證明：（Ⅰ）連結BD，交AC于O，連結QO，
∵正四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，∴O是BD中點，
∵Q是PB中點，∴QO∥PD，
∵QO?平面QAC，PD?平面QAC，
∴PD∥平面QAC．
解：（Ⅱ）∵正四棱錐P-ABCD各棱長都為2，
點O，M，N，Q分別是AC，PA，PC，PB的中點，
∴AC=$\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，PO=$\sqrt{A{P}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{4-2}=\sqrt{2}$，
∴三棱錐P-MND的體積：
V_P-MND=V_D-PMN=$\frac{1}{4}{V}_{D-PAC}$=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．