Question

已知a∈{1，2，3}，b∈{1，2，3，4，5，6}，直線l₁：ax+by=3，直線l₂：x+2y=2，解答下列問題：
（1）求兩條直線相交的概率；
（2）求兩條直線的交點在第一象限的概率．

Answer 1

分析：（1）當兩條直線相交時，

a

b

 ≠ 

1

2

，a、b的所有取法共有3×6=18種，滿足

a

b

 = 

1

2

的取法有 3種，故所求事件的概率為

18- 3

18

．
（2）先求出兩直線的交點坐標為（

2b-6

b-2a

，

3-2a

b-2a

 ），再求出滿足 

2b-6

b-2a

＞0 且

3-2a

b-2a

＞0 的（a，b ），共有7個，可得所求事件的概率．

解答：解：（1）當兩條直線相交時，兩條直線的斜率不相等，故-

a

b

≠-

1

2

，即

a

b

 ≠ 

1

2

．
a，b的所有取法共有3×6=18種，滿足

a

b

 = 

1

2

的取法有 3種，
故所求事件的概率為

18- 3

18

=

5

6

．
（2）把直線l₁：ax+by=3和直線l₂：x+2y=2聯立方程組解得交點坐標為（

2b-6

b-2a

，

3-2a

b-2a

 ）．
兩條直線的交點在第一象限時，

2b-6

b-2a

＞0 且

3-2a

b-2a

＞0．
化簡可得 

b＞2a b＞3 a＜ 3 2

 ①，或

b ＜ 2a b ＜ 3 a ＞ 3 2

 ②．
滿足①的（a，b ） 有：（1，4）、（1，5）、（1，6），共3個．
滿足②的（a，b ） 有：（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2），共4個．
故所求事件的概率等于

3+ 4

18

=

7

18

．

點評：本題考查等可能事件的概率，求出兩條直線的交點在第一象限時，滿足條件的（a，b ） 共有7個，是解題的關鍵．