Question

PA⊥矩形ABCD平面，M，N分別是AB、PC的中點(diǎn)．

　　①求證：MN⊥AB；

　　②若PA︰PD＝1︰，求證：MN⊥PC；

　　③在②成立的條件下，設(shè)PA＝a，求異面直線AB與PC的距離．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：①連接AC、PB、BN、AN．由PA⊥平面ABCD，知PA⊥AC，Rt△ACD中，PN=CN，．因?yàn)?i>BC⊥AB，AB是PB在平面ABCD的射影，所以BC⊥PB．Rt△PBC中，PN=CN，，故AN=BN，等腰△ABN中，M是AB中點(diǎn)，故MN⊥AB．如圖． 　　②設(shè)PD中點(diǎn)為E，AB⊥AE，由CD//AB，知CD⊥AE，Rt△PAD中，因?yàn)?i>PA︰PD=1︰，所以PA=AD，又E是PD中點(diǎn)，AE⊥PD，AE⊥平面PDC，故AE⊥PC，MN//AE，因此MN⊥PC． 　　③MN是異面直線AB、PC的公垂線段，MN=AE，PA=a，Rt△PAD中，PA︰AD=1︰，故．