Question

拋物線y²=2px（p＞0）與直線y=x+1相切，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是拋物線上兩個動點，F為拋物線的焦點，AB的垂直平分線l與x軸交于點C，且|AF|+|BF|=8．
（1）求P的值；
（2）求點C的坐標；
（3）求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）聯立切線和拋物線方程，由判別式等于0求解p的值；
（2）由|AF|+|BF|=8，利用拋物線的定義轉化為x₁+x₂+2=8，從而求出A，B兩點橫坐標的和，設出C的坐標，利用C在AB的垂直平分線上得|AC|=|BC|，代入兩點間的距離公式后移向整理，代入兩橫坐標的和后可求m的值；
（3）設出AB中點的坐標，寫出直線l的方程，把AB中點坐標代入l的方程后得到AB中點坐標與直線l的斜率k的關系，由AB中點在拋物線內部列式求得k的取值范圍．

解答：解：（1）由

y2=2px(p＞0) y=x+1

 得：y²-2py+2p=0（p＞0）有兩個相等實根  
即△=4p²-8p=4p（p-2）=0，得：p=2為所求；                   
（2）拋物線y²=4x的準線x=-1．
且|AF|+|BF|=8，由定義得x₁+x₂+2=8，則x₁+x₂=6          
設C（m，0），由C在AB的垂直平分線上，從而|AC|=|BC|
則(x1-m)2+y12=(x2-m)2+y22
(x1-m)2-(x2-m)2=-y12+y22
（x₁+x₂-2m）（x₁-x₂）=-4（x₁-x₂）                              
因為x₁≠x₂，所以x₁+x₂-2m=-4
又因為x₁+x₂=6，所以m=5，則點C的坐標為（5，0）；
（3）設AB的中點M（x₀，y₀），有x0=

x1+x2

2

=3                  
設直線l方程y=k（x-5）過點M（3，y₀），得y₀=-2k                
又因為點M（3，y₀）在拋物線y²=4x的內部，則y02＜12              
得：4k²＜12，則k²＜3
又因為x₁≠x₂，則k≠0
故k的取值范圍為(-

3，

0)∪(0，

3

)．

點評：本題主要考查拋物線的定義和直線與曲線的相切問題，解決此類問題的必須熟悉曲線的定義和曲線的圖形特征，這也是高考常考的知識點，屬難題．