Question

已知數列{a_n}，首項a ₁=3且2a _n=S _n•S _n-1 （n≥2）．
（1）求證：{

1

Sn

}是等差數列，并求公差；
（2）求{a _n }的通項公式；
（3）數列{a_n}中是否存在自然數k₀，使得當自然數k≥k₀時使不等式a_k＞a_k+1對任意大于等于k的自然數都成立，若存在求出最小的k值，否則請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中2a _n=S _n•S _n-1，我們易可2（S_n-S_n-1）=S_n•S_n-1，兩這同除S_n•S_n-1后，即可得到

1

Sn

-

1

Sn-1

= -

1

2

（n≥2），即數列{

1

Sn

}是以

1

3

為公差等差數列，再由首項a ₁=3，代入求出數列{

1

Sn

}的首項，即可得到數列{

1

Sn

}的通項公式；
（2）由（1）的結論，結合2a _n=S _n•S _n-1，我們可以得到n≥2時，{a _n }的通項公式，結合首項a ₁=3，我們可以得到{a _n }的通項公式；
（3）令a_k＞a_k+1解不等式我們可以求出滿足條件的取值范圍，再根據k∈N，即可得到滿足條件的k值．

解答：解：（1）．由已知當n≥2時2a_n=S_n•S_n-1得：2（S_n-S_n-1）=S_n•S_n-1（n≥2）⇒

1

Sn

-

1

Sn-1

= -

1

2

（n≥2）⇒{

1

Sn

}是以

1

S1

=

1

a1

=

1

3

為首項，公差d=-

1

2

的等差數列．
（2）．∵

1

Sn

=

1

S1

+(n-1)d=

1

3

+(n-1)(-

1

2

)=

5-3n

6

，Sn=

6

5-3n

(n≥ 2)
從而an=

1

2

Sn•Sn-1=

18

(3n-5)(3n-8)

，
∴an=

3  (n=1) 18 (3n-5)(3n-8)

(n≥2)
（3）.

令ak-ak+1＞0，即(3k-2)(3k-5)(3k-8)＞0，可得 2 3 ＜k＜ 5 3 或k＞ 8 3 ．故只需取k=3，則對 大于或等于3的一切自然數總有ak＞ak+1成立，這樣的自然數存在最小值3.

點評：本題考查的知識點是等差關系的確定，數列的函數特性，數列的遞推公式．要判斷一個數列是否為等差數列最常用的辦法就是根據定義，判斷a_n-a_n-1是否為一個常數．