Question

我們把底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影是正三角形中心的三棱錐稱為正三棱錐、現(xiàn)有一正三棱錐P-ABC放置在平面α上，已知它的底面邊長為2，高h(yuǎn)，邊BC在平面上轉(zhuǎn)動，若某個時刻它在平面α上的射影是等腰直角三角形，則h的取值范圍是（　　）

• A、（0，

  6

  3

  ]
• B、（0，

  6

  6

  ]
• C、（0，

  6

  6

  ]∪[

  6

  3

  ，1]
• D、（0，

  6

  3

  ]∪（

  6

  2

  ，1）

Answer 1

分析：有選擇題的特點(diǎn)可知，我們可以借助與題中答案的端點(diǎn)值來判斷，答案是否成立．

解答：解：在△ABC中，設(shè)其中心為O，BC中點(diǎn)為E，則OE=

1

3

×

3

=

3

3

，
當(dāng)h=

6

3

時，PE=

PO2+OE2

=1，PB=

PE2+BE2

=

2

，△PBC為等腰直角三角形，即當(dāng)△PBC在平面α內(nèi)時符合，
P不在平面α內(nèi)時，設(shè)p在α內(nèi)的投影為P'，PP'=d，∵△P'BC為等腰直角三角形，故P'E=1?PE=

d2+1

＞1，
又PE=

h2+OE2

=

h2+  ( 3 3 )2

＞1，
∴h²＞

2

3

，∴
h＞

6

3

；
有選項(xiàng)可知C符合，
故選 C

點(diǎn)評：這是一道難度較高的題，考查點(diǎn)，線，面在一平面內(nèi)的投影問題，是道壓軸題