Question

已知橢圓的短軸長為2，焦點坐標分別是（-1，0）和（1，0），
（1）求這個橢圓的標準方程；
（2）如果直線y=x+m與這個橢圓交于不同的兩點，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由題分析出橢圓的焦點在X軸上且2b=2，c=1；求出a，b即可求橢圓的標準方程；
（2）聯立直線方程與橢圓方程，整理為關于的一元二次方程；再結合直線y=x+m與這個橢圓交于不同的兩點知道對應的方程有兩個不等實根，判別式大于0即可求出m的取值范圍．
解答：解：（1）由題得橢圓的焦點在X軸上且2b=2，c=1
∴b=，a²=b²+c²=4．
∴橢圓的標準方程：=1．
（2）由消去Y整理得：7x²+8mx+4m²-12=0．
由直線y=x+m與這個橢圓交于不同的兩點得△=（8m）²-4×7×（4m²-12）＞0⇒m²＜7⇒．
所以m的取值范圍是（-）．
點評：本題涉及到橢圓標準方程的求法．在求圓錐曲線的標準方程時，一定要先判斷焦點所在位置，避免出錯．