Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且對任意正整數n，點（a_n+1，S_n）在直線2x+y-2=0上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=na_n²，求數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）由已知條件可得 2a_n+1 +S_n -2=0，可得n≥2時，2a_n+s_n-1-2=0，相減后再得數列{a_n}是以1為首項，公比為

1

2

的等比數列，再求出通項公式；
（2）根據（1）和條件求出b_n，再利用錯位相消法求出其前n項和T_n，然后化簡整理求出前n項和．

解答：解：（1）：（Ⅰ）∵點（a_n+1，S_n）在直線2x+y-2=0上，
∴2a_n+1 +S_n -2=0． ①
當n≥2時，2a_n+s_n-1-2=0． ②
①─②得 2a_n+1 -2a_n+a_n=0，即

an+1

an

=

1

2

（n≥2），
把n=1和a₁=1代入①，可得a₂=

1

2

，也滿足上式，
∴{a_n}是首項為1，公比為

1

2

的等比數列，
則a_n=(

1

2

)n-1，
（2）設數列{b_n}的前n項和是T_n，
由（1）得，b_n=na_n²=n(

1

2

)2(n-1)=n(

1

4

)n-1，
∴T_n=1+2×

1

4

+3×

1

42

+…+n(

1

4

)n-1     ①，
則

1

4

Tn=

1

4

+2×

1

42

+3×

1

43

+…+n(

1

4

)n    ②，
①-②得，

3

4

Tn=1+

1

4

+

1

42

+

1

43

+…+

1

4n-1

-n(

1

4

)n
=

1- 1 4n

1- 1 4

-n(

1

4

)n=

3

4

(1-

1

4n

)-n(

1

4

)n，
則T_n=1-

4n+3

3•4n

．

點評：本題主要考查了等比數列的通項公式，數列前n項和和通項的關系，以及錯位相消法求數列的求和，是一道綜合題，屬于中檔題．