Question

若f（x）=|x²-2x-3|，則方程f³（x）-4f²（x）-f（x）+4=0的根的個數為（　　）

A．5

B．6

C．7

D．9

Answer 1

分析：方程f³（x）-4f²（x）-f（x）+4=0的實數解的個數，即函數f（x）=|x²-2x-3|與函數y=-1，y=1，y=4的交點的個數，結合圖象得出結論．

解答：解：f³（x）-4f²（x）-f（x）+4=0
即[f（x）+1][f（x）-1][f（x）-4]=0，
∴f（x）=-1或f（x）=1或f（x）=4．
方程f³（x）-4f²（x）-f（x）+4=0的實數解的個數，
即函數f（x）=|x²-2x-3|與函數y=-1，y=1，y=4的交點的個數，
如圖所示：
函數f（x）=|x²-2x-3|與函數y=-1，y=1，y=4的交點的個數為7，
故選C．

點評：本題考查了根的存在性及根的個數判斷，以及函數與方程的思想，解答關鍵是運用數形結合的思想，屬于中檔題．