Question

設f(x)=loga

1-mx

x-1

為奇函數，g(x)=f(x)+loga

(x-1)(ax+1)

（a＞1且m≠1）
（1）求m的值及g（x）的定義域；
（2）若g（x）在(-

5

2

，-

3

2

)上恒為正，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據f(x)=loga

1-mx

x-1

為奇函數，f（x）+f（-x）=0，結合對數的運算性質，可得m²=1，結合m≠1得m=-1，進而根據對數函數真數大于0，構造不等式組，求出函數的定義域．
（2）根據g（x）在(-

5

2

，-

3

2

)上恒為正，結合底數大于1，可得真數恒大于1，進而a＞-

1

x+1

，x∈(-

5

2

，-

3

2

)恒成立，構造函數y=-

1

x+1

，結合函數在(-

5

2

，-

3

2

)上的單調性，求出最值，可得答案．

解答：解：（1）∵f(x)=loga

1-mx

x-1

是奇函數
∴f（x）+f（-x）=loga

1-mx

x-1

+loga

1+mx

-x-1

=loga

1-m2x2

1-x2

=0
解得m²=1
由m≠1得m=-1．　　　　　　　　　　　　　…（2分）
∴f(x)=loga

1+x

x-1

，
∴g（x）=loga

1+x

x-1

+loga[(x-1)(ax+1)]
則，

1+x x-1 ＞0 (x-1)(ax+1)＞0

即x＜-1，或x＞1，
∴g（x）的定義域為{x|x＜-1，或x＞1}．　　　　　　　　　　…（6分）
（2）∵a＞1
g（x）loga

1+x

x-1

+loga[(x-1)(ax+1)]=loga[(x+1)(ax+1)]在(-

5

2

，-

3

2

)上恒為正，
即(x+1)(ax+1)＞1，…（8分）
∴a＞-

1

x+1

，x∈(-

5

2

，-

3

2

)，…（10分）
由于y=-

1

x+1

在(-

5

2

，-

3

2

)上為增函數
故-

1

x+1

≤-

1

- 3 2 +1

=2
∴a＞2
故a的取值范圍為（2，+∞）                …（12分）

點評：本題考查的知識點是函數恒成立問題，函數奇偶性與單調性的綜合，是函數圖象和性質的綜合應用，難度稍大，應屬于中檔題．