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已知拋物線C:y=ax2,點P(1,-1)在拋物線C上,過點P作斜率為k1、k2的兩條直線,分別交拋物線C于異于點P的兩點A(x1,y1),B(x2,y2),且滿足k1+k2=0.
(I)求拋物線C的焦點坐標;
(II)若點M滿足,求點M的軌跡方程.
【答案】分析:(I)將P代入拋物線C的方程即可求得a,進而拋物線的方程可得.
(II)設直線PA的方程為y+1=k1(x-1),與拋物線方程聯立消去y,得到關于x1的一元二次方程根據韋達定理求得x1與k1的關系,同樣設直線PB的方程為y+1=k2(x-1)與拋物線方程聯立消去y,進而可得x2與k2的關系,設點M的坐標為(x,y)根據向量的關系求得x=-1,得出M的軌跡.
解答:解:(I)將P(1,-1)代入拋物線C的方程y=ax2得a=-1,
∴拋物線C的方程為y=-x2,即x2=-y.
焦點坐標為F(0,-).
(II)設直線PA的方程為y+1=k1(x-1),
聯立方程消去y得x2+k1x-k1-1=0,
則1•x1=-k1-1,即x1=-k1-1.
由△=k12-4(-k1-1)=(k1+2)2>0,得k1≠-2.
同理直線PB的方程為y+1=k2(x-1),
聯立方程消去y得x2+k2x-k2-1=0,
則1•x2=-k2-1,即x2=-k2-1.且k2≠-2.
又∵k1+k2=0,∴k1≠2.
設點M的坐標為(x,y),由
又∵k1+k2=0,∴x=-1.

=-(k12+1)≤-1,
又k1≠±2,∴y≠-5.
∴所求M的軌跡方程為:x=-1(y≤-1且y≠-5).
點評:本題主要考查拋物線與直線之間的關系,考查學生綜合分析和運用所學知識的能力.
練習冊系列答案
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已知拋物線C:y=x2+4x+
2
7
,過C上一點M,且與M處的切線垂直的直線稱為C在點M的法線.
(Ⅰ)若C在點M的法線的斜率為-
1
2
,求點M的坐標(x0,y0;
(Ⅱ)設P(-2,a)為C對稱軸上的一點,在C上是否存在點,使得C在該點的法線通過點P?若有,求出這些點,以及C在這些點的法線方程;若沒有,請說明理由.

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已知拋物線C:y=ax2(a為非零常數)的焦點為F,點P為拋物線C上一個動點,過點P且與拋物線C相切的直線記為L.
(1)求F的坐標;
(2)當點P在何處時,點F到直線L的距離最?

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精英家教網已知拋物線C:y=mx2(m>0),焦點為F,直線2x-y+2=0交拋物線C于A、B兩點,P是線段AB的中點,過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q,
(1)若拋物線C上有一點R(xR,2)到焦點F的距離為3,求此時m的值;
(2)是否存在實數m,使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.

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已知拋物線C:y=2x2上的點A(-1,2),直線l1過點A且與拋物線相切.直線l2:x=a(a>-1)交拋物線于點B,交直線l1于點D,記△ABD的面積為S1,拋物線和直線l1,l2所圍成的圖形面積為S2,則S1:S2=(  )

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已知拋物線C:y=ax2(a>0)上的點P(b,1)到焦點的距離為
5
4
,
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)如圖,已知動線段AB(B在A右邊)在直線l:y=x-2上,且|AB|=
2
,現過A作C的切線,取左邊的切點M,過B作C的切線,取右邊的切點為N,當MN∥AB,求A點的橫坐標t的值.

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