Question

已知矩形ABCD的邊AB=a，BC=4，PA⊥平面ABCD，PA=2，如果BC邊上存在點M，使PM⊥MD，則a的取值范圍是

（0，2]

．

Answer 1

分析：連結AM，根據條件，要使PM⊥MD，則DM⊥面PAM，即DM⊥AM即可．然后利用圓的性質，只要保證以AB為直徑的圓和BC有交點即可．

解答：解：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DM，
若BC邊上存在點M，使PM⊥MD，
則DM⊥面PAM，
即DM⊥AM，
∴以AD為直徑的圓和BC相交即可．
∵AD=BC=4，
∴圓的半徑為2，
要使線段BC和半徑為2的圓相交，
則0＜AB≤2，
即0＜a≤2，
∴a的取值范圍是（0，2]．
故答案為：（0，2]．

點評：本題主要考查線面垂直的性質的應用，將線面垂直轉化為直線垂直進而利用圓的性質是解決本題的關鍵．