Question

17．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）與直線x+y-1=0相交于A、B兩點，若a∈[$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$]，且以AB為直徑的圓經過坐標原點O，則橢圓離心率e的取值范圍為[$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$]．

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁，）、B（x₂，y₂），將直線y=-x+1與橢圓方程聯解，消去y得到關于x的一元二次方程，根據韋達定理與直線方程求出用a、b表示x₁x₂+y₁y₂的式子，由OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，從而求得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=2，將b²=a²-c²，e=$\frac{c}{a}$，代入即可求得求得離心率的范圍，由a∈[$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$]，求得橢圓離心率e的取值范圍．

解答 解：將x+y-1=0代入橢圓方程整理得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0（﹡）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{{a}^{2}（1-{b}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}}$
而y₁•y₂=（1-x₁）（1-x₂）=$\frac{{b}^{2}（1-{a}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
又∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{{a}^{2}（1-{b}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}（1-{a}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=0，
∴a²+b²=2a²b²，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=2，①
將b²=a²-c²，e=$\frac{c}{a}$，代入①得
2-e²=2a²（1-e²），
∴e²=$\frac{2{a}^{2}-2}{2{a}^{2}-1}$=1-$\frac{1}{2{a}^{2}-1}$
∵a∈[$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$]，
∴$\frac{2}{3}$≤e²≤$\frac{8}{9}$，
而0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{6}}{3}$≤e≤$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故答案為：[$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$]．

點評 本題考查橢圓的標準方程及幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，向量及圓錐曲線的綜合應用，考查韋達定理的運用，屬于難題．