Question

平面上有n個圓，其中每兩個圓之間都相交于兩個點，每三個圓都無公共點，它們將平面分成f（n）塊區域，則f（n）的表達式是（　　）

A．2ⁿ

B．2ⁿ-（n-1）（n-2）（n-3）

C．n³-5n²+10n-4

D．n²-n+2

Answer 1

分析：我們由兩個圓相交將平面分為4分，三個圓相交將平面分為8分，四個圓相交將平面分為14部分，我們進行歸納推理，易得到結論，再利用數學歸納法的證明方法，驗證n=1時命題成立，然后假設n=k時命題成立，證明n=k+1時命題也成立即可．

解答：解：∵一個圓將平面分為2份
兩個圓相交將平面分為4=2+2份，
三個圓相交將平面分為8=2+2+4份，
四個圓相交將平面分為14=2+2+4+6份，
…
平面內n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且任意三個圓不相交于同一點，
則該n個圓分平面區域數f（n）=2+（n-1）n=n²-n+2
證明：（1）當n=1時，一個圓把平面分成兩個區域，而1²-1+2=2，命題成立．
（2）假設n=k（k≥1）時，命題成立，即k個圓把平面分成k²-k+2個區域．
當n=k+1時，第k+1個圓與原有的k個圓有2k個交點，這些交點把第k+1個圓分成了2k段弧，
而其中的每一段弧都把它所在的區域分成了兩部分，因此增加了2k個區域，
共有k²-k+2+2k=（k+1）²-（k+1）+2個區域．
∴n=k+1時，命題也成立．
由（1）、（2）知，對任意的n∈N*，命題都成立．
故選D．

點評：本題主要考查了進行簡單的合情推理．歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．