Question

已知函數f（x）=ln（1+x²）+ax．（a≤0）
（1）若f（x）在x=0處取得極值，求a的值；
（2）討論f（x）的單調性；
（3）證明：為自然對數的底數）

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x），因為f（x）在x=0時取得極值，所以f'（0）=0，代入求出a即可；
（2）分三種情況：a=0；a≤-1；-1＜a＜0，令f′（x）＞0得到函數的遞增區間；令f′（x）＜0得到函數的遞減區間即可；（3）由（2）知當a=-1時函數為減函數，所以得到ln（1+x²）＜x，利用這個結論根據對數的運算法則化簡不等式的左邊得證即可．
解答：解：（1）∵，∵x=0使f（x）的一個極值點，則f'（0）=0，
∴a=0，驗證知a=0符合條件．
（2）∵
①若a=0時，∴f（x）在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0）單調遞減；
②若得，當a≤-1時，f'（x）≤0對x∈R恒成立，
∴f（x）在R上單調遞減．
③若-1＜a＜0時，由f'（x）＞0得ax²+2x+a＞0
∴
再令f'（x）＜0，可得
∴上單調遞增，
在
綜上所述，若a≤-1時，f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減；
若-1＜a＜0時，上單調遞增上單調遞減；
若a=0時，f（x）在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0）單調遞減．
（3）由（2）知，當a=-1時，f（x）在（-∞，+∞）單調遞減
當x∈（0，+∞）時，由f（x）＜f（0）=0
∴ln（1+x²）＜x，∴ln[（1+）（1+）…（1+）]=ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）
＜++…+==（1-）＜，∴（1+）（1+）…（1+）＜=
點評：考查學生利用導數研究函數單調性的能力，以及會用待定系數法求函數解析式，會利用單調性及對數函數運算證明不等式．會求等比數列的前n項的和．以及利用導數研究函數極值的能力．