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設[a,b]是函數y=f(x)定義域內的一個閉區間.如果對任意的x1、x2∈[a,b]且x1≠x2,有f()>[f(x1)+f(x2)],那么稱函數y=f(x)在區間[a,b]上為凸函數;如果對任意的x1、x2∈[a,b],且x1≠x2,有f()<[f(x1)+f(x2)],那么稱函數y=f(x)在區間[a,b]上為凹函數.

(1)判定函數f(x)=在定義域[0,+∞)上是凹函數還是凸函數,并證明你的結論;

(2)判定函數f(x)=2x在定義域(-∞,+∞)上是凹函數還是凸函數,并證明之.

解析:(1)函數y=的圖象如圖所示.

由圖形易知,任給x1、x2∈[0,+∞),

(),

∴函數f(x)=在[0,+∞)上為凸函數.

證明:任取x1、x2∈[0,+∞),且x1≠x2,

()2-[()]2

=(x1+x2-)

=()2>0,

∴()2>[()]2.

(),

即滿足f()>[f(x1)+f(x2)].

∴函數f(x)=x在[0,+∞)上是凸函數.

(2)函數f(x)=2x圖象如下.

從圖形知在(-∞,+∞)上函數y=2x是凹函數.

證明:任取x1、x2∈(-∞,+∞)且x1≠x2,則-()=-()=

∵x1≠x2,∴,即.

2<0,

.

∴函數f(x)=2x在(-∞,+∞)上是凹函數.

練習冊系列答案
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(1)若
AC
CB
,則點C的坐標是
 

(2)過點C作x軸的垂線,交函數y=x2(x>0)的圖象于D點,由點C在點D的上方可得不等式:
 

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  1. A.
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  2. B.
    “b<0,c<0”是“方程f(x)=0有兩個負根”的充分非必要條件
  3. C.
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  4. D.
    “c>0”是“不等式數學公式對任意x∈R+恒成立”的既不充分也不必要條件

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設[a,b]是函數y=f(x)定義域內的一個閉區間.如果對任意的x1、x2∈[a,b]且x1≠x2,有f()>[f(x1)+f(x2)],那么稱函數y=f(x)在區間[a,b]上為凸函數;如果對任意的x1、x2∈[a,b],且x1≠x2,有f()<[f(x1)+f(x2)],那么稱函數y=f(x)在區間[a,b]上為凹函數.

(1)判定函數f(x)=x在定義域[0,+∞)上是凹函數還是凸函數,并證明你的結論.

(2)判定函數f(x)=2x在定義域(-∞,+∞)上是凹函數還是凸函數,并證明之.

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