Question

11、已知函數f（x）=xe^x（e為自然對數的底）．
（1）求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．

Answer 1

分析：（1）先確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0，解得區間就是函數f（x）的單調遞增區間；
（2）先求出切點的坐標，然后求出x=1處的導數，從而求出切線的斜率，利用點斜式方程即可求出切線方程．

解答：解：f（x）=xe^x?f′（x）=e^x（x+1）
（1）令f′（x）＞0?x＞-1，即函數f（x）的單調遞增區間是（-1，+∞）；（6分）
（2）因為f（1）=e，f′（1）=2e，（9分）
所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為
y-e=2e（x-1），即2ex-y-e=0．（12分）

點評：本題主要考查了實際問題中導數的意義，以及利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查計算能力，屬于基礎題．