Question

已知直線方程為（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．
（Ⅰ）若直線不經過第一象限，求m的范圍；
（Ⅱ）若直線分別與x軸、y軸的負半軸交于A，B兩點，
求△AOB面積的最小值及此時直線的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ） （法一）①1﹣2m=0，即m=時，x=1，不過第一象限，∴m=．
②1﹣2m≠0，即m≠時，
y=，
∴，
∴，
∴﹣．
（法二）解：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0化為（x﹣2y﹣3）m=﹣2x﹣y﹣4．
由得 ，
∴直線必過定點（﹣1，﹣2）．                  
∴1﹣2m=0或者，
∴﹣．
（Ⅱ）解：設直線的斜率為k（k＜0），則其方程為y+2=k（x+1），
∴OA=|﹣1|，OB=|k﹣2|，
S△AOB=OAOB=|（﹣1）（k﹣2）|=|﹣|
∵k＜0，∴﹣k＞0，
∴S△AOB=[﹣]=[4+（﹣）+（﹣k）]≥4．
當且僅當﹣=﹣k，即k=﹣2時取等號．
∴△AOB的面積最小值是4，
直線的方程為y+2=﹣2（x+1），即y+2x+4=0．