Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA₁=．
（Ⅰ）求點A₁到平面AB₁C₁的距離；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-C₁的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設點A₁到平面AB₁C₁的距離為h，利用等體積可求；
（Ⅱ）分別以CB，CC₁，CA為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，分別求平面BAB₁、AB₁C₁一個法向量，再利用公式求二面角B-AB₁-C₁的余弦值．
解答：解：（Ⅰ）設點A₁到平面AB₁C₁的距離為h，則由題意，
AC₁=3．B₁C₁=1，B₁C₁⊥AC₁
∴
∴
（Ⅱ）分別以CB，CC₁，CA為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則
設平面BAB₁的一個法向量為，則，∴，∴
同理可得平面AB₁C₁的一個法向量
設二面角B-AB₁-C₁的大小為α，則
∴二面角B-AB₁-C₁的余弦值為
點評：本題以直三棱柱為載體，考查點面距離，考查面面角，關鍵是構建空間直角坐標系，用坐標表示向量，進而利用公式求解．