Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中點，F是CD上的點且DF=

1

2

AB，PH為△PAD中AD邊上的高．
（Ⅰ）證明：PH⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若PH=1，AD=

2

，FC=1，求三棱錐E-BCF的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為AB⊥平面PAD，所以PH⊥AB，因為PH為△PAD中AD邊上的高，所以PH⊥AD，由此能夠證明PH⊥平面ABCD．
（Ⅱ）連接BH，取BH中點G，連接EG，因為E是PB的中點，所以EG∥PH，因為PH⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD，由此能夠求出三棱錐E-BCF的體積．

解答：（Ⅰ）證明：∵AB⊥平面PAD，
∴PH⊥AB，
∵PH為△PAD中AD邊上的高，
∴PH⊥AD，
又∵AB∩AD=A，
∴PH⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：如圖，連接BH，取BH中點G，連接EG，
∵E是PB的中點，
∴EG∥PH，
∵PH⊥平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD，
則EG=

1

2

PH=

1

2

，
∴V_E-BCF=

1

3

S_△BCF•EG=

1

3

•

1

2

•FC•AD•EG=

2

12

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，求三棱錐的體積，解題時要認真審題，注意合理地化立體幾何問題為平面幾何問題．