Question

如圖，ABCD是圓的內接四邊形，AB∥CD，過A點的圓的切線與CD的延長線交于P點，證明：
（1）∠PAD=∠CAB；
（2）AD²=AB•PD．

Answer 1

解：（1）∵AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB
∵AP切圓于A點，∠PAD夾弧AD
∴∠PAD=∠ACD，可得∠PAD=∠CAB；
（2）∵ABCD是圓的內接四邊形，
∴∠ADP=∠CBA
∵∠PAD=∠CAB，
∴△PAD∽△CAB，可得=
∵AB、CD是圓的平行弦
∴CB=AD，可得=，得AD²=AB•PD．
分析：（1）根據(jù)平行線的內錯角相等，得∠ACD=∠CAB，再由弦切角定理，得∠PAD=∠ACD，可得∠PAD=∠CAB；
（2）根據(jù)圓內接四邊形的性質，得∠ADP=∠CBA，結合∠PAD=∠CAB得△PAD∽△CAB，從而=，最后由圓的平行弦截得弦長相等，得CB=AD，從而得到AD²=AB•PD．
點評：本題在圓中證明角相等，并且證明線段的比例中項，著重考查了圓內接四邊形的性質、相似三角形和與圓有關的比例線段等知識，屬于中檔題．