Question

已知函數f（x）=x²-x，g（x）=lnx．
（1）求證：f（x）≥g（x）；
（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實數a的值；
（3）設F（x）=f（x）+mg（x）（m∈R）有兩個極值點x₁、x₂（x₁＜x₂）；求實數m的取值范圍，并證明：F(x2)＞-

3+4ln2

16

．

Answer 1

分析：（1）設G（x）=x²-x-lnx，根據其導函數得到其最小值即可得到結論成立；
（2）先令h（x）=f（x）-ag（x）；根據h（1）=0得到h（x）≥0的必要條件是h'（0）=0；求出a即可；
（3）先求出其導函數，把問題轉化為方程2x²-x+m=0在（0，+∞）上有兩個不等的正根，再結合根與系數的關系得到m的范圍；進而得到m與x₂之間的關系；最后通過對關于x₂的函數的求導，找到其最值點，即可得到結論成立．

解答：解：（1）設G（x）=x²-x-lnx，
故G′(x)=

(2x+1)(x-1)

x

（x＞0）…2'
∴G（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增
∴G（x）≥G（1）=0
∴f（x）≥g（x）…2'
（2）令h（x）=f（x）-ag（x）
∵h（1）=0
所以h（x）≥0的必要條件是h'（0）=0，得a=1…3'
當a=1時，由（1）知h（x）≥0恒成立．
所以a=1…2'
（3）因為F（x）=f（x）+mg（x）=x²-x+mlnx，所以F′(x)=

2x2-x+m

x

   (x＞0)，
F（x）有兩個極值點x₁、x₂等價于
方程2x²-x+m=0在（0，+∞）上有兩個不等的正根
∴

△＞0 x1+x2＞0 x1•x2＞0

得  0＜m＜

1

8

…2'
由F'（x）=0得m=-2x₂²+x₂，（0＜x1＜

1

4

＜x2＜

1

2

）
∴F（x₂）=x₂²-x₂+（x₂-2x₂²）lnx₂
設?(x)=x2-x+(x-2x2)lnx ， (

1

4

＜x＜

1

2

)，
得?'（x）=（1-4x）lnx＞0，∴?(x)＞?(

1

4

)=-

3+4ln2

16

所以F(x2)＞-

3+4ln2

16

…4'

點評：本題主要考查學生會求函數的導函數，會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．