Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=∠ADC=

π

2

、AB=AD=2CD=4，作MN∥AB，連接AC交MN于P，現沿MN將直角梯形ABCD折成直二面角

（I）若M為AD中點時，求異面直線MN與AC所成角；
（Ⅱ）證明：當MN在直角梯形內保持MN∥AB作平行移動時，折后所成∠APC大小不變；
（Ⅲ）當點M在怎樣的位置時，點M到面ACD的距離最大？并求出這個最大值．

Answer 1

分析：（I）MN∥DC，DC⊥平面ADM，則∠ACD為異面直線MN與AC所成角，利用正切函數，可得結論；
（II）利用余弦定理，可求∠APC大小；
（Ⅲ）由題意，平面ACD⊥平面AMD，則過M作ME⊥AD，ME⊥平面ACD，故ME為點M到面ACD的距離，利用等面積，即可求解．

解答：（I）解：由題意，MN∥DC，DC⊥平面ADM，則∠ACD為異面直線MN與AC所成角
∵DM=AM=2，DM⊥AM
∴AD=2

2

∴tan∠ACD=

2

∴∠ACD=arctan

2

；
（II）證明：設MP=a，則AM=2a，DM=4-2a，
∴AP=

5

a，PC=

(2-a)2+(4-2a)2

=

5a2-20a+20

，AC=

4a2+(4-2a)2+4

=

8a2-16a+20

∴cos∠APC=

5a2+5a2-20a+20-8a2+16a-20

2 5 a• 5 (2-a)

=-

1

5

為定值，
∴MN在直角梯形內保持MN∥AB作平行移動時，折后所成∠APC大小不變；
（Ⅲ）解：由題意，平面ACD⊥平面AMD，則過M作ME⊥AD，ME⊥平面ACD，
∴ME為點M到面ACD的距離
由（II）知，ME=

2a(4-2a)

(2a)2+(4-2a)2

=

2a(2-a)

2a(a-2)+4

令t=2a（2-a），則1≥t＞0，ME=

t

t+4

=

1

1 t + 4 t2

=

1

4( 1 t + 1 8 )2- 1 16

∴t=1時，ME取得最大值

5

5

，此時M是AD的中點．

點評：本題考查空間角與空間距離的計算，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．