Question

設f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ展開式中x的系數是19，（m、n∈N^*）
（1）求f（x）展開式中x²的系數的最小值．
（2）對f（x）展開式中x²的系數取得最小值時的m、n，求f（x）展開式中x⁷的系數．

Answer 1

分析：（1）利用二項展開式的通項公式求出展開式的x的系數，列出方程得到m，n的關系；利用二項展開式的通項公式求出x²的系數，將m，n的關系代入得到關于m的二次函數，配方求出最小值
（2）由（1）得到的m，n代入f（x），利用二項展開式的通項公式求出f（x）展開式中x⁷的系數．

解答：解：（1）f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ展開式中x的系數是19，
則m+n=19，即m=19-n
x²的系數為C_m²+C_n²=C_19-n²+C_n²
=

1

2

(19-n)(18-n)+

1

2

n(n-1)
=(n-

19

2

)2+

323

4

n∈N^*，當n=9或10，x²的系數最小值是81．…（10分）
（2）當n=9，m=10或n=10，m=9時，x⁷的系數C₁₀⁷+C₉⁷=156…（14分）

點評：本題考查利用二項展開式的通項公式求二項展開式的特殊項問題，是一道中檔題．