Question

直線y=x+1與橢圓mx²+ny²=1（m，n＞0）相交于A，B兩點，弦AB的中點的橫坐標是-

1

3

，則雙曲線

y2

m2

-

x2

n2

=1的兩條漸近線所夾的銳角等于（　　）

• A．2arctan2
• B．2arctan

  1

  2

• C．π-2arctan2
• D．π-2arctan

  1

  2

Answer 1

分析：把直線與橢圓方程聯立消去y，根據韋達定理求得x₁+x₂的表達式，進而根據x₁+x₂=-

2

3

，求得n和m的關系，求得漸近線的斜率，進而根據兩條漸近線夾角為漸近線的傾斜角的兩倍，進而求得答案．

解答：解：把直線與橢圓方程聯立

y=x+1 mx 2+ny 2=1

消去y得（m+n）x²+2nx+n-1=0
∴x₁+x₂=-

2n

m+n

=-

2

3

∴

n

m

=

1

2

則雙曲線

y2

m2

-

x2

n2

=1的一條漸近線y=

m

n

x的傾斜角為π-2arctan2；
∴兩條漸近線所夾的銳角等于π-2arctan2
故選C．

點評：本小題主要考查雙曲線的簡單性質、兩直線的夾角、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想，屬于基礎題．