Question

某出版社新出版一本高考復習用書，該書的成本為5元/本，經銷過程中每本書需付給代理商m元（1≤m≤3）的勞務費，經出版社研究決定，新書投放市場后定價為元/本（9≤≤11），預計一年的銷售量為萬本．

(1)求該出版社一年的利潤（萬元）與每本書的定價的函數關系式；

(2)當每本書的定價為多少元時，該出版社一年的利潤最大，并求出的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）若，則當每本書定價為元時，出版社一年的利潤最大，最大值（萬元）；若，則當每本書定價為11元時，出版社一年的利潤最大，最大值（萬元）.

【解析】

試題分析：本題是實際問題的考查，考查函數的最值，考查利用導數研究函數的單調性最值.第一問，利用每本書的銷售利潤銷售量列出表示式，在這一問中，要注意注明函數的定義域；第二問，利用導數求函數最值，先求導數，令導數為0，解出方程的根，由于這是實際問題，應考慮根必須在定義域內，討論根是否在內，分2種情況，分別判斷單調性求出最值，最后綜合上述2種情況得出結論.

試題解析：（1）該出版社一年的利潤（萬元）與每本書定價的函數關系式為：

．     5分（定義域不寫扣1分）

（2）．       6分

令得或x=20（不合題意，舍去）．    7分

， ．在兩側的值由正變負．

①當即時，

在即是增函數，在是減函數.

②當即時在上是增函數，

所以

答：若，則當每本書定價為元時，出版社一年的利潤最大，最大值（萬元）；若，則當每本書定價為11元時，出版社一年的利潤最大，最大值（萬元）          12分

考點：1.利用導數判斷函數的單調性；2.利用導數求函數的最值.