Question

已知函數f（x）=lnx，（a＞0）
（Ⅰ）若設F（x）=f（x）+g（x），求F（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）若函數圖象上任意點處的切線的斜率k≤1恒成立，求實數a的最小值；
（Ⅲ）是否存在實數m，使得函數的圖象與的圖象恰好有三個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由F'（x）＞0，可求得F（x）的單調遞增區間；
（II）由于H（x）=lnx+，H′（x）=，可求得2a≥-x²+x=，于是可求得a的取值范圍．
（Ⅲ）依題意，m=有三個不同的根，構造函數G（x）=，通過求導數，求得G（x）的極大值G（1）的值，即可得到m的范圍．
解答：解：（I）F（x）=f（x）+g（x）=lnx+（x＞0），F′（x）=
∵a＞0，由F'（x）＞0，得x＞2a，
∴F（x）的單調遞增區間為（2a，+∞）．-----------------------（3分）
（II）H（x）=f（x）+=lnx+，H′（x）=，----------------------（5分）
∵2a≥-x²+x，又x²-x≤，2a≥-，a≥．
所以實數a的最小值為．--------------------------（8分）
（III） 若p（x）=的圖象與q（x）=的圖象恰有三個不同交點，
即有三個不同的根，
亦即m=有三個不同的根．---------------------（10分）
令G（x）=，
則G′（x）=-x²-2x=．
當x＜0時G'（x）＜0，所以G（x）單調遞減，且當x→0時，G（x）→-∞，當x→-∞時，G（x）→+∞
當0＜x＜1時G'（x）＞0；
∴G（x）單調遞增，且當x→0時，G（x）→-∞，
當x＞1時，G'（x）＜0；
∴G（x）單調遞減，
∴當x=1時，G（x）的極大值G（1）=-．
所以，當 時，方程有三個不同的解．--------------（14分）
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查函數恒成立問題，突出考查構造函數與轉化的數學思想及綜合分析與運算的能力，屬于難題．